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/ TeX 1995 July / TeX CD-ROM July 1995 (Disc 1)(Walnut Creek)(1995).ISO / macros / texsis / Unix / TEXSIS03 < prev    next >
SHell self-extracting ARchive  |  1992-08-02  |  85.5 KB

open in: MacOS 8.1     |     Win98     |     DOS

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This file was processed as: SHell self-extracting ARchive (archive/shar).

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|00000bb0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 0a 58 25 20 2d 2d 2d | | .X% ---|
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|00000be0| 74 68 65 20 70 61 70 65 | 72 2e 2e 2e 0a 58 25 20 |the pape|r....X% |
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|00001ca0| 61 63 74 69 6f 6e 20 69 | 73 20 74 68 75 73 0a 58 |action i|s thus.X|
|00001cb0| 24 24 0a 53 20 3d 20 5c | 68 61 6c 66 20 5c 6d 75 |$$.S = \|half \mu|
|00001cc0| 5e 32 20 5c 73 75 6d 5f | 78 20 61 5e 34 20 5c 73 |^2 \sum_|x a^4 \s|
|00001cd0| 75 6d 5f 7b 5c 68 61 74 | 5c 6d 75 7d 0a 58 20 20 |um_{\hat|\mu}.X |
|00001ce0| 20 20 20 20 20 20 5b 7b | 20 5c 44 65 6c 74 61 28 | [{| \Delta(|
|00001cf0| 5c 76 61 72 70 68 69 28 | 78 2b 5c 68 61 74 5c 6d |\varphi(|x+\hat\m|
|00001d00| 75 20 61 29 2c 20 5c 76 | 61 72 70 68 69 28 78 29 |u a), \v|arphi(x)|
|00001d10| 29 20 5c 6f 76 65 72 20 | 61 7d 5d 5e 32 20 5c 2c |) \over |a}]^2 \,|
|00001d20| 2c 0a 58 5c 45 51 4e 20 | 34 24 24 0a 77 68 65 72 |,.X\EQN |4$$.wher|
|00001d30| 65 20 24 5c 44 65 6c 74 | 61 28 5c 76 61 72 70 68 |e $\Delt|a(\varph|
|00001d40| 69 2c 5c 76 61 72 70 68 | 69 5e 5c 70 72 69 6d 65 |i,\varph|i^\prime|
|00001d50| 29 24 20 69 73 20 74 68 | 65 20 61 72 63 20 6c 65 |)$ is th|e arc le|
|00001d60| 6e 67 74 68 20 62 65 74 | 77 65 65 6e 0a 58 24 5c |ngth bet|ween.X$\|
|00001d70| 76 61 72 70 68 69 24 20 | 61 6e 64 20 24 5c 76 61 |varphi$ |and $\va|
|00001d80| 72 70 68 69 5e 5c 70 72 | 69 6d 65 24 20 6f 6e 20 |rphi^\pr|ime$ on |
|00001d90| 74 68 65 20 6d 61 6e 69 | 66 6f 6c 64 2c 0a 58 24 |the mani|fold,.X$|
|00001da0| 24 0a 58 5c 44 65 6c 74 | 61 28 5c 76 61 72 70 68 |$.X\Delt|a(\varph|
|00001db0| 69 2c 5c 76 61 72 70 68 | 69 5e 5c 70 72 69 6d 65 |i,\varph|i^\prime|
|00001dc0| 29 20 3d 20 0a 58 20 20 | 20 20 20 20 20 20 5c 63 |) = .X | \c|
|00001dd0| 6f 73 68 5e 7b 2d 31 7d | 28 2d 5c 65 74 61 5e 7b |osh^{-1}|(-\eta^{|
|00001de0| 61 62 7d 20 5c 76 61 72 | 70 68 69 5f 61 5c 76 61 |ab} \var|phi_a\va|
|00001df0| 72 70 68 69 5e 5c 70 72 | 69 6d 65 5f 62 29 20 5c |rphi^\pr|ime_b) \|
|00001e00| 2c 2e 0a 58 5c 45 51 4e | 20 35 24 24 0a 4f 75 72 |,..X\EQN| 5$$.Our|
|00001e10| 20 72 65 61 73 6f 6e 20 | 66 6f 72 20 74 68 69 73 | reason |for this|
|00001e20| 20 63 68 6f 69 63 65 20 | 69 73 20 74 68 61 74 20 | choice |is that |
|00001e30| 69 74 20 69 73 20 63 6f | 6e 73 69 73 74 65 6e 74 |it is co|nsistent|
|00001e40| 20 77 69 74 68 20 74 68 | 65 20 69 64 65 61 20 74 | with th|e idea t|
|00001e50| 68 61 74 0a 74 68 65 20 | 66 69 65 6c 64 73 20 62 |hat.the |fields b|
|00001e60| 65 20 72 65 73 74 72 69 | 63 74 65 64 20 6f 6e 6c |e restri|cted onl|
|00001e70| 79 20 74 6f 20 74 68 65 | 20 63 6f 6e 73 74 72 61 |y to the| constra|
|00001e80| 69 6e 74 20 73 75 72 66 | 61 63 65 20 6f 66 20 74 |int surf|ace of t|
|00001e90| 68 65 0a 58 24 5c 73 69 | 67 6d 61 24 2d 6d 6f 64 |he.X$\si|gma$-mod|
|00001ea0| 65 6c 2e 0a 49 6e 20 63 | 6f 6e 74 72 61 73 74 2c |el..In c|ontrast,|
|00001eb0| 20 73 69 6d 70 6c 79 20 | 74 61 6b 69 6e 67 20 74 | simply |taking t|
|00001ec0| 68 65 20 6e 61 5c 22 7b | 5c 69 7d 76 65 20 64 69 |he na\"{|\i}ve di|
|00001ed0| 66 66 65 72 65 6e 63 65 | 20 62 65 74 77 65 65 6e |fference| between|
|00001ee0| 20 66 69 65 6c 64 73 2c | 20 61 73 0a 69 73 20 75 | fields,| as.is u|
|00001ef0| 73 75 61 6c 6c 79 20 64 | 6f 6e 65 20 66 6f 72 20 |sually d|one for |
|00001f00| 63 6f 6d 70 61 63 74 20 | 24 5c 73 69 67 6d 61 24 |compact |$\sigma$|
|00001f10| 2d 6d 6f 64 65 6c 73 2c | 20 70 72 6f 64 75 63 65 |-models,| produce|
|00001f20| 73 20 61 20 64 69 66 66 | 65 72 65 6e 63 65 0a 76 |s a diff|erence.v|
|00001f30| 65 63 74 6f 72 20 77 68 | 69 63 68 20 64 6f 65 73 |ector wh|ich does|
|00001f40| 20 6e 6f 74 20 6c 69 65 | 20 69 6e 20 74 68 65 20 | not lie| in the |
|00001f50| 6d 61 6e 69 66 6f 6c 64 | 20 6f 66 20 63 6f 6e 73 |manifold| of cons|
|00001f60| 74 72 61 69 6e 74 2e 20 | 20 57 68 69 6c 65 20 62 |traint. | While b|
|00001f70| 6f 74 68 0a 6d 65 74 68 | 6f 64 73 20 6c 65 61 64 |oth.meth|ods lead|
|00001f80| 20 74 6f 20 74 68 65 20 | 73 61 6d 65 20 63 6c 61 | to the |same cla|
|00001f90| 73 73 69 63 61 6c 20 63 | 6f 6e 74 69 6e 75 75 6d |ssical c|ontinuum|
|00001fa0| 20 6c 69 6d 69 74 20 74 | 68 65 72 65 20 69 73 20 | limit t|here is |
|00001fb0| 6e 6f 74 68 69 6e 67 20 | 74 68 61 74 0a 67 75 61 |nothing |that.gua|
|00001fc0| 72 61 6e 74 65 65 73 20 | 74 68 61 74 20 74 68 65 |rantees |that the|
|00001fd0| 20 71 75 61 6e 74 75 6d | 20 74 68 65 6f 72 69 65 | quantum| theorie|
|00001fe0| 73 20 6f 62 74 61 69 6e | 65 64 20 66 72 6f 6d 20 |s obtain|ed from |
|00001ff0| 74 68 65 20 74 77 6f 20 | 6c 61 74 74 69 63 65 0a |the two |lattice.|
|00002000| 64 65 66 69 6e 69 74 69 | 6f 6e 73 20 77 69 6c 6c |definiti|ons will|
|00002010| 20 62 65 20 74 68 65 20 | 73 61 6d 65 2e 0a 58 0a | be the |same..X.|
|00002020| 58 20 20 20 49 74 20 69 | 73 20 63 6f 6e 76 65 6e |X It i|s conven|
|00002030| 69 65 6e 74 20 74 6f 20 | 66 61 63 74 6f 72 20 74 |ient to |factor t|
|00002040| 68 65 20 64 65 70 65 6e | 64 65 6e 63 65 20 6f 6e |he depen|dence on|
|00002050| 20 74 68 65 20 6c 61 74 | 74 69 63 65 20 73 70 61 | the lat|tice spa|
|00002060| 63 69 6e 67 20 24 61 24 | 0a 6f 75 74 20 74 6f 20 |cing $a$|.out to |
|00002070| 74 68 65 20 66 72 6f 6e | 74 20 6f 66 20 5c 45 71 |the fron|t of \Eq|
|00002080| 7b 34 7d 20 61 6e 64 20 | 74 6f 20 64 65 66 69 6e |{4} and |to defin|
|00002090| 65 20 74 68 65 20 64 69 | 6d 65 6e 73 69 6f 6e 6c |e the di|mensionl|
|000020a0| 65 73 73 20 63 6f 75 70 | 6c 69 6e 67 0a 63 6f 6e |ess coup|ling.con|
|000020b0| 73 74 61 6e 74 20 24 5c | 62 65 74 61 20 3d 20 5c |stant $\|beta = \|
|000020c0| 6d 75 5e 32 20 61 5e 32 | 24 2e 20 20 49 66 20 74 |mu^2 a^2|$. If t|
|000020d0| 68 65 20 74 68 65 6f 72 | 79 20 69 73 20 6e 6f 6e |he theor|y is non|
|000020e0| 70 65 72 74 75 72 62 61 | 74 69 76 65 6c 79 0a 72 |perturba|tively.r|
|000020f0| 65 6e 6f 72 6d 61 6c 69 | 7a 61 62 6c 65 20 74 68 |enormali|zable th|
|00002100| 65 20 50 6c 61 6e 63 6b | 20 6d 61 73 73 20 24 5c |e Planck| mass $\|
|00002110| 6d 75 24 20 77 69 6c 6c | 20 62 65 20 72 65 6e 6f |mu$ will| be reno|
|00002120| 72 6d 61 6c 69 7a 65 64 | 20 74 6f 20 24 5c 6d 75 |rmalized| to $\mu|
|00002130| 5f 52 24 2c 0a 77 68 69 | 63 68 20 72 65 73 75 6c |_R$,.whi|ch resul|
|00002140| 74 73 20 69 6e 20 61 20 | 72 65 6e 6f 72 6d 61 6c |ts in a |renormal|
|00002150| 69 7a 65 64 20 64 69 6d | 65 6e 73 69 6f 6e 6c 65 |ized dim|ensionle|
|00002160| 73 73 20 63 6f 75 70 6c | 69 6e 67 20 63 6f 6e 73 |ss coupl|ing cons|
|00002170| 74 61 6e 74 0a 58 24 24 | 0a 58 5c 62 65 74 61 5f |tant.X$$|.X\beta_|
|00002180| 52 20 3d 20 5c 6d 75 5f | 52 5e 32 20 61 5e 32 20 |R = \mu_|R^2 a^2 |
|00002190| 20 20 5c 2c 2e 0a 58 5c | 45 51 4e 20 36 24 24 0a | \,..X\|EQN 6$$.|
|000021a0| 54 68 65 20 72 65 6e 6f | 72 6d 61 6c 69 7a 65 64 |The reno|rmalized|
|000021b0| 20 50 6c 61 6e 63 6b 20 | 6d 61 73 73 20 64 65 66 | Planck |mass def|
|000021c0| 69 6e 65 73 20 61 20 63 | 68 61 72 61 63 74 65 72 |ines a c|haracter|
|000021d0| 69 73 74 69 63 20 6c 65 | 6e 67 74 68 20 73 63 61 |istic le|ngth sca|
|000021e0| 6c 65 0a 58 24 31 2f 5c | 6d 75 5f 52 24 20 66 6f |le.X$1/\|mu_R$ fo|
|000021f0| 72 20 74 68 65 20 69 6e | 74 65 72 61 63 74 69 6f |r the in|teractio|
|00002200| 6e 73 20 6f 66 20 74 68 | 65 20 74 68 65 6f 72 79 |ns of th|e theory|
|00002210| 2e 20 20 54 68 65 20 6c | 61 74 74 69 63 65 20 61 |. The l|attice a|
|00002220| 70 70 72 6f 78 69 6d 61 | 74 69 6f 6e 0a 74 6f 20 |pproxima|tion.to |
|00002230| 74 68 65 20 63 6f 6e 74 | 69 6e 75 75 6d 20 74 68 |the cont|inuum th|
|00002240| 65 6f 72 79 20 77 69 6c | 6c 20 62 65 20 72 65 6c |eory wil|l be rel|
|00002250| 69 61 62 6c 65 20 77 68 | 65 6e 20 24 61 20 5c 6c |iable wh|en $a \l|
|00002260| 6c 20 31 2f 5c 6d 75 5f | 52 20 5c 6c 6c 20 4c 3d |l 1/\mu_|R \ll L=|
|00002270| 4e 61 24 2e 0a 43 6f 6e | 73 69 64 65 72 69 6e 67 |Na$..Con|sidering|
|00002280| 20 65 61 63 68 20 69 6e | 65 71 75 61 6c 69 74 79 | each in|equality|
|00002290| 20 73 65 70 61 72 61 74 | 65 6c 79 2c 20 74 68 69 | separat|ely, thi|
|000022a0| 73 20 72 65 71 75 69 72 | 65 73 0a 58 24 24 0a 58 |s requir|es.X$$.X|
|000022b0| 5c 6d 75 5f 52 20 61 20 | 3d 20 5c 73 71 72 74 7b |\mu_R a |= \sqrt{|
|000022c0| 5c 62 65 74 61 5f 52 7d | 20 20 5c 6c 6c 20 31 20 |\beta_R}| \ll 1 |
|000022d0| 0a 58 5c 71 71 75 61 64 | 20 5c 68 62 6f 78 7b 5c |.X\qquad| \hbox{\|
|000022e0| 72 6d 20 61 6e 64 7d 20 | 5c 71 71 75 61 64 0a 58 |rm and} |\qquad.X|
|000022f0| 20 4e 20 20 20 5c 67 67 | 20 7b 31 5c 6f 76 65 72 | N \gg| {1\over|
|00002300| 20 5c 73 71 72 74 7b 5c | 62 65 74 61 5f 52 7d 7d | \sqrt{\|beta_R}}|
|00002310| 0a 58 5c 45 51 4e 20 37 | 24 24 0a 49 6e 20 74 68 |.X\EQN 7|$$.In th|
|00002320| 65 20 63 6f 6e 74 69 6e | 75 75 6d 20 6c 69 6d 69 |e contin|uum limi|
|00002330| 74 20 24 61 20 5c 74 6f | 20 30 24 2c 20 68 65 6e |t $a \to| 0$, hen|
|00002340| 63 65 20 24 5c 62 65 74 | 61 20 5c 74 6f 20 30 24 |ce $\bet|a \to 0$|
|00002350| 2c 20 61 6e 64 20 66 6f | 72 20 24 5c 6d 75 5f 52 |, and fo|r $\mu_R|
|00002360| 24 0a 74 6f 20 72 65 6d | 61 69 6e 20 66 69 6e 69 |$.to rem|ain fini|
|00002370| 74 65 20 74 68 69 73 20 | 72 65 71 75 69 72 65 73 |te this |requires|
|00002380| 20 24 5c 62 65 74 61 5f | 52 20 5c 74 6f 20 30 24 | $\beta_|R \to 0$|
|00002390| 2e 20 20 49 66 20 74 68 | 69 73 20 63 6f 6e 64 69 |. If th|is condi|
|000023a0| 74 69 6f 6e 20 69 73 0a | 6e 6f 74 20 66 75 6c 66 |tion is.|not fulf|
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